文字列の連結を行うstrcat関数は、strlen関数とstrcpy関数を合わせたような機能を持っています。つまり意味的には、

char *strcat(char * restrict s1, const char * restrict s2)
{
  strcpy(s1 + strlen(s1), s2);
  return s1;   // 間違っていたので少し直しました
}

ということになるわけです。実装もこれと大差はありませんが、strlenやstrcpyといった関数を呼び出すのではなく、直接展開しているだけです。したがって、

#include <stddef.h>

char *strcat(char * __restrict__ s1, const char * __restrict__ s2)
{
  register char *ss;
  for (ss = s1; *ss != '\0'; ss++)
    ;
  for (; (*ss = *s2) != '\0'; ss++, s2++)
    ;
 return s1;
}

とすれば完成です。

ところで、strcat という関数名ですが、STRing ConcAtenaTe の意味だとか。かなり無理があるような気がするのは私だけでしょうか。